Né dans le sud de la Suède, Albrt Jensen était devenu orphelin de père à l’âge de 7 ans et avait dû dès l’école primaire travailler à l’essuyage de lampes pour aider sa mère tisseuse. Après avoir quitté l’école, il fut garçon d’hôtel puis emplyé de bureau chez un négociant avant d’entrer comme appreti chez un cordonnier dont il ne supporté pas l’autoritarisme. Il devint alors appernti horloger. C’est à cette époque qu’il commença à lire unpetit hebdomadiare socialiste auquel il souscrivit, puis intégra sa rédaction. Devenu l’animateur des Jeunesses socialistes locales, il fut nommé dircteur de leur revue et fit de noreuses tournée de prpagande et d’agitation.
En 1903, suite à la scission du mouvement socialiste suéois, il quittait la revue laissée aux mains des réformistes et fondait une oganiation socialiste révolutionnaire. « Aimant bezucoup la campagne, il essaya de réaliser son rêve vivre à la campagne ». En 1904 il étudiat dans ne école d’agiculture d’une petite ville où la surveillance et la répression dont il était l’objet l’obligèrent à partir. Il ouvrit alors une petite lirairie dans une autre ville, mais où de nouveau la pression de la bourgeoisie locale l’obligèrent à partir.
En 1905, lors des tensions entre la Suède et la Norvège, il partiipa à de nombrux meeeings contre la guerre, préonicant l’action directe et la révolte en cas de guerre, ce qui lui valut 1 an de prison. Il refusa ensuite l’amnistie obtenue par les députés sociaux démocrates. A sa libération de prison, il reprit sa propagande révolutionnaire et fut de nouveau condamné à 6 mois de détntion.
En 1909 il devint rédacteur de la Revue anarchiste Brand. Suite à une nouvelle condamnation, il partit alors à l’étranger (Belgique, Angleterre, France…).

En 1913, Jensen, qui était membre de la SAC depuis au moins 1910, fut délégué au Congrès syndicaliste révolutionnaire de Londre. Il était également le directeur de l’organe quotidien de la SAC Arbetaren (n°1, 4 anvier 1922). Lor de la déclaration de guerre, il se trouvait au Danemark dont il fut expulsé en 1919 et fut alors emprisoné à son retour en Suède. Il y écrivit alors plusieurs articles notamment sur les dérives olcvolution russe, ce quilui bvalut d’être taxé par plusieus de ses anciens camarades enthousiasmés par la révolution russe de « contre réolutionnaire » et "d’agent de la boirgeoisie ». Pendant trois anas il alait combattre le conceptions bolchévistes, position qui gut adoptée par le congrès syndicaliste suédois de 1922.
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Albert Jensen fut le délégué de la SAC à la Conférence internationale préalable des syndicalistes révolutionnaires qui se tint à Berlin les 16-18 juin 1922. Il y fut nommé au bureai provisoire aux cotés de Rocker, Borgho, Pestaña et Schapiro. La SAC comptait alors 30.000 membres.Selon certaine sources, il n’aurait pu se rendre au congrès, le gouveneet suédois ayant rusé de lui établir un passeport)

Pendant la guerre d’Espagne, bien que malade, il accompagna John Anderson et ecrivit plusieurs articles sur les réalisations de la révution espagnole.

Pendant la Seconde guerre mondiale il fut poursuivi à plusieurs reprises avec Ragnar Johanson (rsponsable juridique de Arbetaren) pour délits de presse ses articles contre la barbarie et en faver de la lierté, ce qui lui vaudra à la fin de la guerre d’être proposé à une « médaille » pour sa courageuse attitude pendant la guerre.